TEORÍA MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. Definición del M.A.S.

Un movimiento armónico simple es el movimiento que describe un cuerpo que oscila respecto de la posición de equilibrio bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio.

La perturbación del sistema es lo que causa que el sistema trate de recuperar la posición de equilibrio.

La ecuación de movimiento del M.A.S. es:

r⃗ (t)= y⋅j⃗ 

siendo y la elongación o desviación respecto de la posición de equilibrio.

Las magnitudes características del M.A.S. son:

• Vibración completa o ciclo: es el movimiento desde un extremo A de la trayectoria al otro extremo B y retorno al primero. Corresponde a una vuelta completa de la circunferencia.
• Período: es el tiempo invertido por un cuerpo en realizar una oscilación completa. Se representa por T y presenta unidades de tiempo (s).
• Fase: es el ángulo descrito por un punto en un instante de tiempo.
• Frecuencia: es el número de ciclos u oscilaciones dados en un segundo. Tiene dimensiones de inversa del tiempo (s^-1 o Hz).
• Elongación: es la distancia que en un instante dado separa el punto oscilante de la posición de equilibrio. La máxima elongación se denomina amplitud.
• Pulsación: es la velocidad angular constante que posee un punto de la trayectoria (ω = 2π/T).

2. Cinemática del M.A.S.

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La ecuación de movimiento del M.A.S. coincide con una de las coordenadas de la posición de un punto al describir un movimiento circular.

Movimiento circular

Componentes del M.C.

Las ecuaciones de la cinemática del movimiento de un punto que describe un Movimiento Circular es:

r⃗ (t)= (Rcosθ)i⃗ +(Rsenθ)j⃗ =(Rcosωt)i⃗ +(Rsenωt)j⃗ 

v⃗ =dr⃗ dt=(−Rωsenωt)i⃗ +(Rωcosωt)j⃗ ⟹∣∣v⃗ ∣∣≡v=R⋅ω

a⃗ =dv⃗ dt=(−Rω2cosωt)i⃗ +(−Rω2senωt)j⃗ ⟹∣∣a⃗ ∣∣≡a=R⋅ω2

Por tanto, las ecuaciones de la cinemática del movimiento armónico simple son:

• Posición

 

• Velocidad

Derivando la ecuación de la posición de un m.a.s. respecto al tiempo, es posible obtener la ecuación general de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo:

Puedes expresar la velocidad anterior en función de la elongación. Para ello debes usar la conocida relación trigonométrica sin² α + cos² α = 1 y las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad:

• Positiva si el movimiento tiene lugar en el sentido positivo y negativa si el movimiento se produce en el sentido de las elongaciones decrecientes.

• La velocidad es máxima cuando x = 0 y es nula cuando x = ± A, es decir, en los extremos de la trayectoria.
• Observa que, para un mismo valor de x, la velocidad puede ser positiva o negativa:

• Aceleración

La última magnitud cinemática es la aceleración, que se calcula como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

En el apartado anterior se obtuvo la ecuación de la velocidad de un m.a.s. en función del tiempo. Derivando esta ecuación respecto del tiempo, se obtiene la ecuación general de la aceleración de un m.a.s.:

La última igualdad te muestra que la aceleración es directamente proporcional a la elongación y de sentido opuesto a ella. La aceleración está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.

3. Dinámica del M.A.S.

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Acabas de ver cómo todo m.a.s. presenta una aceleración directamente proporcional a la posición pero de signo contrario (a = -ω²·x). Además, el curso pasado estudiaste las leyes de Newton, fundamento de la mecánica. Puedes recordar que la segunda ley de Newton relacionaba la acción de una fuerza sobre un cuerpo con el cambio de su aceleración: F = m·a.

Una de las consecuencias de la acción de las fuerzas sobre la materia es que puede llegar a deformarla. Entre los distintos comportamientos destacan aquellos cuerpos que, aún deformándose, recuperan la forma inicial cuando la fuerza deja de actuar; estos cuerpos reciben el nombre de elásticos. La deformación de estos cuerpos obedece a la conocida como Ley de Hooke, donde existe una fuerza restauradora F que es directamente proporcional a su elongación:

El oscilador armónico es el ejemplo más simple de sistema físico que describe un movimiento vibratorio armónico simple, y corresponde a un sistema sobre el que actúa únicamente una fuerza restauradora que obedece a la ley de Hooke.

La ecuación que describe el movimiento de este sistema puede encontrarse de una forma muy sencilla, teniendo en cuenta que únicamente interesa la dirección en la que se produce el movimiento. Para ella:

Como el movimiento de este sistema es del tipo armónico simple, es posible sustituir el valor de la aceleración por el que ya se obtuvo en el punto anterior (a = -ω²·x), resultando

donde sustituye al producto  , ya que la masa del oscilador y la pulsación son constantes. Por tanto,  y la frecuencia angular es:

 

Ley de Hooke

4. Descripción energética del M.A.S.

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Como siempre, tenemos que aplicar el principio de conservación de la energía, que nos dice que, en ausencia de fuerzas exteriores, la energía total del sistema es constante: Etotal = Ec + Ep = T + U.

La energía potencial es:

U= 12kx2

y dado que, por la ecuación del M.A.S., sabemos la expresión para la posición:

x= A⋅sen(ωt+φ)

nos queda:

U= 12⋅kA2⋅sen2(ωt+φ)

En cuanto a la energía cinética, ya sabemos que:

Ec= 12mv2

y como se cumple que la velocidad es:

v= Aω⋅cos(ωt+φ)

la expresión resultante es:

Ec= 12kA2cos2(ωt+φ)

Y la energía total es:

ET= 12kA2

poniendo de manifiesto que la energía total del movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Energía total, cinética y potencial del M.A.S.

Variación de la energía en el M.A.S.

Podemos analizar el movimiento estudiando cómo varían las energías cinética y potencial.

*Si x = A o x = -A (puntos de retorno del movimiento), entonces E = U y toda la energía es potencial. Dicho de otro modo, la velocidad es nula y por eso se llaman puntos de retorno, porque el movimiento vuelve a ir en la dirección en que la energía cinética se incrementa.
*Si x está en el intervalo entre la posición de equilibrio (mínimo de la curva) y +A o -A entonces E = Ec+U, y se cumple que al aumentar U disminuye Ec, y viceversa.
*Si x es justamente igual a la distancia de equilibrio, x = xeq, entonces toda la energía es energía cinética, y en este punto la velocidad es máxima.

Variación de la energía total con la posición

5. Ejemplos. El péndulo simple

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Se entiende por péndulo simple o matemático a todo punto material constituido idealmente por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible, de masa despreciable, capaz de oscilar libremente en el vacío.

Péndulo simple

El trabajo realizado para desplazar inicialmente la esfera se manifestará:

• Como energía potential gravitatoria de la esfera cuando ésta se encuentre en las posiciones extremas del recorrido, donde la elongación es máxima.

• Como energía cinética, al pasar la esfera por su posición de equilibrio, pues en ese punto su velocidad es máxima.

• Como suma de ambas en cualquier posición intermedia.

¿Cómo es el diagrama de fuerzas de la esfera suspendida? Al desplazarla de su posición de equilibrio y dejarla oscilar libremente, la única fuerza que actúa sobre ella en cada instante es su peso:

Fp→= m⋅g⃗ 

Si descomponemos la fuerza, nos percataremos de que la componente y mantiene tenso el hilo, mientras que la componente x es responsable del movimiento oscilatorio:

Descomposición de fuerzas

Las dos componentes son:

Fy= mg⋅cosα

Fx= −mg⋅sinα

Para oscilaciones pequeñas el movimiento de un péndulo simple puede considerarse como un M.A.S. cuya constante elástica kviene dada por el cociente mg/l:

T= 2πmk−−−√=2πmmg/l−−−−−√=2πlg−−√