LENTES

Una lente es un sistema óptico limitado por dos dioptrios, donde al menos uno de ellos es
esférico. Vamos a ver el caso de que el medio a ambos lados de la lente tiene el mismo índice
de refracción.
Una lente delgada es aquella en la que el desplazamiento del rayo en el interior de la lente es
despreciable, el espesor de la lente es despreciable frente a las longitudes asociadas a sus
propiedades ópticas (radio de curvatura, distancias focales. Etc.)

Clasificación de las lentes
Las superficies de las lentes pueden poseer distintas formas dando origen a distintos tipos de
lentes.
Convergentes son aquellas en que los rayos incidentes paralelos al eje óptico convergen al salir
en el foco imagen.
Divergentes son aquellas en que los rayos incidentes paralelos al eje óptico divergen al salir,

sus prolongaciones se cortan en el foco imagen.

Casos de formación de la imagen según la posición del objeto

Lentes convergentes
De cada uno de los puntos del objeto salen miles de rayos que llevan la información del objeto y se concentran en un punto donde se forma su imagen. Aquí estudiamos la imagen que dan rayos paraxiales. Si los rayos son paraxiales la imagen es única, en caso contrario se forma una imagen difusa

En los gráficos que siguen el objeto se dibuja en negro. Si la imagen  es real se ve de color azul y si es virtual en verde.
Lee primero los ejemplos de esta página y practica después con esta aplicación interactiva (mueve el objeto con el ratón y observa los tipos de imágenes formadas).
1.- Si el objeto está situado entre 2F y el infinito (menos infinito), la imagen estará entre F' y 2F' y será invertida, real y más pequeña.
Recuerda que la distancia del objeto a la lente es s, y la de la imagen a la lente es s'. Las distancias focales son: f para la distancia objeto y f ' para la distancia imagen.

s > 2f  f '< s' <2f '

2.- Si el objeto está situado en 2f, la imagen estará en 2 F', y será igual, invertida y real.

s = 2f s' = 2f '

3.- Si el objeto está situado entre 2F y F, la imagen estará situada más allá de 2 F' y será mayor, invertida y real.

2f > s > f s' > 2f '

4.- Si el objeto está situado en F la imagen no se forma (se formaría en el infinito)

s = f s' = infinito

5.- Si el objeto está situado entre F y la lente, la imagen estará entre F y el infinito y será virtual (la forman las prolongaciones de los rayos), mayor y derecha.

s < f s' < f (virtual)

Lentes divergentes
Sea cual sea la posición del objeto frente a la lente la imagen siempre será virtual, menor y derecha.
Practica con este applet interactivo (cambia en su menú el tipo de lente y trata de averiguar entre que puntos se forma la imagen para cada zona de posición del objeto).
¿Podrá estar la imagen en algún momento a mayor distancia de la lente que la distancia focal objeto?.

Para cualquier s, s' menor y virtual

Las imágenes virtuales no se pueden recogen sobre una pantalla.
Los rayos que proceden de un punto objeto no se cortan en ningún lugar al otro lado de la lente, por lo tanto no podemos recogerlos sobre una pantalla para obtener una imagen de ese punto. El sistema óptico del ojo si puede recoger esos rayos divergentes y obtener una imagen del objeto en la retina. El objeto nos parece que está en un punto virtual.


Fórmula de las lentes delgadas

La forma más rigurosa de deducir la fórmula de las lentes es a partir de la fórmula del dioptrio. (Debes estudiar antes el dioptrio pero si no quieres hacerlo puedes entender perfectamente la explicación que está más abajo).

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La fórmula de las lentes delgadas permite relacionar la posición del objeto y de la imagen con la distancia focal.
Esta es la fórmula:

Vamos a deducirla mediante relaciones geométricas sencillas. También se deduce a partir de la fórmula del dioptrio.
En los triángulos semejantes amarillos ABO e OA'B', limitados por el objeto, la imagen y la lente, podemos establecer:

En los triángulos OMF' e o F'A'B'

Igualando las dos relaciones:

y haciendo operaciones:

Aplicando el criterio de signos DIN (la posición del objeto a la izquierda de la lente es negativa), la fórmula que obtenemos para las lentes delgadas es:

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Aumento lateral, b

Aumento lateral de una lente es el cociente entre la altura de la imagen y la altura del objeto.

Para demostrar esta fórmula establecemos relaciones geométricas en los triángulos de la figura siguiente:

       En los triángulos semejantes BAO e OB'A' establecemos

B'A'= y' BA= y Aplicando el criterio de signos DIN ( "s" e "y' " son negativos):

Potencia de las lentes

La potencia e una lente es la inversa de su distancia focal imagen:

La potencia se mide en m-1 y se conoce como dioptría. Una dioptría es la potencia de una lente que tiene una distancia focal imagen de 1 m.

El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal imagen, por lo que siguiendo las normas DIN, la potencia de una lente convergente es positiva, P > 0.

La potencia amplificadora manifiesta la capacidad de la lente para aumentar la imagen, pero como capacidad de aumento la del cerebro humano, que en este applet te lleva desde lo más grande a lo más pequeño del Universo.

DIOPTRIO PLANO

Es toda superficie plana que separa dos medios transparentes, homogéneos e isótropos, de distinto índice de refracción, que únicamente refracta la luz que lo atraviesa. Se puede considerar como un caso particular del dioptrio esférico cuando este tiene un radio infinito.

Ecuación fundamental

El dioptrio plano es un dioptrio esférico de radio infinito. Si en la fórmula general substituimos el radio por infinito:

Podemos calcular la distancia imagen en función de la distancia objeto y de los índices de refracción:

Debemos recalcar que la aplicación de esta fórmula sólo es válida para rayos paraxiales. Si miramos, desde encima de la superficie del agua, a puntos poco alejados de la vertical, veremos un objeto sumergido a una distancia menor de la real. La luz viaja desde el agua al exterior, y si el índice de refracción del agua es n= 4/3 y el de aire n'=1 n > n' y por tanto s' < s El objeto parece estar a 3/4 s= 0,75 s = 75 % s (75 % de la distancia real) . Nuestros antepasados ya conocían esto y lo utilizaban cuando pescaban peces en los ríos arponeándolos.

DIOPTRIO ESFÉRICO

Se denomina dioptrio esférico a cualquier superficie esférica que separa dos medios transparentes de distinto índice de refracción.

 Aproximación paraxial En el estudio de la formación de imágenes nos vamos a limitar a los rayos paraxiales, que son aquellos que forman ángulos muy pequeños con el eje, menores de 10º , separándose muy poco de él a través de todo su recorrido de objeto a imagen.

Esta aproximación nos permite utilizar la siguiente aproximación, sin que el error cometido sea significativo: a ≅ sen a  ≅ tg a. Donde el ángulo se expresa en radianes.

Observa, como ejemplo, que para un ángulo de 5º : tg 5º = 0,0875 ; y que 5º son 0,0873 rad.


Tenemos un casquete esférico de radio r = BC y vértice O que separa dos medios de índices de refracción n e n', siendo n' > n

Un punto luminoso A situado sobre el eje óptico emite un rayo AP hacia el dioptrio. Este rayo forma un ángulo a con el eje y se refracta siguiendo el camino PA' formando un ángulo a' con el eje óptico.

Como n' > n el rayo refractado se aproxima a la normal y a ' < a

El rayo AO coincide con la normal, es perpendicular al dioptrio y no se desvía al incidir sobre él. Este rayo corta al rayo PA' en el punto A'. Este punto A' es la imagen de A.

Los rayos son paraxiales, y están muy próximos al eje óptico de manera que OB es una distancia casi cero y PB es muy pequeña. Estas distancias son despreciables si se comparan con s, s' y con r. En esta zona paraxial los senos de los ángulos y las tangentes coinciden pudiendo sustituirse por los valores de los propios ángulos expresados en radianes.

Aplicando la ley de Snell para la refracción:

n sen e = n' sen e'

n · e = n'· e'

Expresando los ángulos en valor absoluto en el triángulo PCA' podemos deducir que:

 |a' |+ |e '| + |p '| =180 º (suma de los ángulos internos de un triángulo)

|b'| +| p '| = 180 º 

Igualando las expresiones anteriores:   |a'| + |e '| = |b'|

Aplicando criterios DIN y como los tres ángulos son positivos:

a' + e' = b'    y en consecuencia   e' = b' -a' 

En el triángulo APC podemos deducir que:

 |a| + |p| + |b'| =180º

|e| + |p| =180º

Igualando las expresiones anteriores:    |a| + |b'| = |e |

Aplicando criterios DIN y siendo:   - a + b' = e

Aplicando la ley de Snell:   n · e = n'· e'

n (- a+ b' )= n'(b' -a' )

En la figura podemos establecer las relaciones siguientes:

tg a = h /s = a     tg b'= h/r= b'     tg a'= h/s' = a'

Substituyendo en la Ley de Snell:

Esta expresión se llama Invariante de Abbe (en honor de Emst Abbe). El valor de la expresión es igual tanto si se escribe en el espacio objeto como si se hace en el espacio imagen.

Esta es la ecuación fundamental del dioptrio esférico.

Permite conocer la posición de la imagen si previamente conocemos la posición del objeto y las características del dioptrio. Solamente es válida para los rayos paraxiales.

Todos los rayos que salen de A son paraxiales (se separan poco del eje principal) y convegen en el punto A'.

El sistema óptico que cumple esta condición recibe el nombre de estigmático.

Focos y distancias focales

Existen dos puntos muy importantes cuando estudiamos un dioptrio: su foco objeto y su foco imagen.

El foco objeto de un dioptrio esférico es el punto F del eje óptico en el que tendría que situarse un objeto para que sus rayos saliesen paralelos al eje tras refractarse en el dioptrio. La distancia del foco objeto al vértice del dioptrio se denomina distancia focal objeto y se denota por f. Se cumple que:

f=−R⋅nn'−n

Donde la unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de f es el metro ( m ) y el resto de magnitudes ya han sido presentadas anteriormente.

Foco objeto y distancia focal objeto.

Los rayos que pasan por el foco F, a una distancia f del vértice u origen O del diptrio, salen paralelos al eje óptico tras refractarse en este. En la primera imagen tenemos un dioptrio esférico convexo (R > 0) ⇒ f < 0 (lado izquierdo del dioptrio). En la segunda imagen tenemos un dioptrio esférico cóncavo (R < 0 ) ⇒ f > 0 (lado derecho del dioptrio)

El foco imagen de un dioptrio esférico es el punto F' del eje óptico en el que convergen, tras pasar por el dioptrio, los rayos que son paralelos al eje óptico. La distancia del foco imagen al vértice del dioptrio se denomina distancia focal imagen y se denota por f'. Se cumple que:

f'=R⋅n'n'−n

Donde la unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) de f' es el metro ( m ) y el resto de magnitudes ya han sido presentadas anteriormente.

Foco imagen y distancia focal imagen.

Los rayos provenientes del infinito, paralelos al eje óptico, convergen todos en el foco F', a una distancia f' del vértice u origen O del diptrio, tras refractarse en este. En la imagen superior tenemos un dioptrio esférico convexo (R > 0) ⇒ f' > 0 (lado derecho del dioptrio). En la imagen izquierda tenemos un dioptrio esférico cóncavo (R < 0 ) ⇒ f'<0 (lado izquierdo del dioptrio)

Puesto que f y f' son distancias, seguimos para ellas el mismo criterio de signos que para s y s' respectivamente.

¡Atención! La expresión para la distancia focal objeto presupone el criterio de signos DIN. Es habitual que encuentras también la siguiente:

f=R⋅nn'−n

Esta última expresión asume el segundo criterio de signos que te presentamos, en el que f debe ser positivo para los objetos reales, es decir, situados delante del dioptrio, y el resto de magnitudes coinciden en signo. Por contra, la expresión de la distancia focal imagen es válida para cualquiera de los dos convenios de signos presentados en el tema.

Características

Las dos expresiones presentadas nos permiten llegar a algunas relaciones interesantes:

• Si dividimos f entre f':
  ff'=nn'
  
  
  En donde se observa que las distancias focales son directamente proporcionales a sus respectivos índices de refracción. También puedes deducir que la distancia focal es mayor, en valor absoluto, en el medio que tenga mayor índice de refracción
• Si sumamos f con f' :
  f+f'=R
  
  
  Es decir, la suma de las distancias focales es igual al radio de curvatura
• Si dividimos los dos miembros de la ecuación fundamental del dioptrio esférico entre el segundo, obtenemos la ecuación de Gauss:
  f's'+fs=1

Comprobaciones

Aunque hasta ahora hemos presentado muchas fórmulas distintas, lo cierto es que todas parten de la ecuación fundamental. Así, podemos deducir la ecuación de la distancia focal objeto recordando que los rayos deben salir paralelos al eje óptico, lo que significa que s'=∞. Para ese valor de s', s=f , con lo que:

n'∞−nf=n'−nR⇒f=−R⋅nn'−n

Por otro lado, podemos deducir la ecuación de la distancia focal imagen recordando lo qué significa que los rayos incidan paralelos al eje óptico, que s=-∞. Para ese valor de s, s'=f' , con lo que:

n'f'−n−∞=n'−nR⇒f'=R⋅n'n'−n