La ley de Biot-Savart

El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B=μ0i4π∮ut×urr2dl

μ_{0 es la permeabilidad del medio y tiene un lugar en el vacío de} 10^-7/4π Tm/A

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, u_t es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. u_r es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, μ₀/4π = 10^-7 en el Sistema Internacional de Unidades.

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

Utilizamos la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.

El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial u_t´ u_r

Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración. Se integra sobre la variable q , expresando las variables x y r en función del ángulo q .

R=r·cosq , R=-y·tanq .

Utilizando la regla del sacacorchos se puede determinar la dirección del campo magnético.

Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje.

En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente está arrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer lugar, el campo creado por una espira.

En la figura, se muestra una espira circular de radio a, recorrida por una corriente de intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia z de su centro.

Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente.

Cuando desarrollas el producto vectorial se coloca el seno del ángulo que forman 

u_t y u_{r,  En este caso, como se puede ver en la figura 90º}

El vector campo magnético dB tiene dos componentes

• a lo largo del eje de la espira dB·cos(90-q )
• perpendicular al eje de la espira dB·sen(90-q )

Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es constante y q es constante

En el centro de la espira z=0, tenemos

El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha.

COMPARACIÓN CAMPO ELÉCTRICO Y GRAVITATORIO

COMPARACIÓN CAMPO ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO

LEY DE GAUSS

LEY DE GAUSS

En el siguiente vídeo puedes ver cómo los fundamentos de la Ley de Gauss demuestran que la Tierra no es hueca, podéis utilizarlo de introducción, previo al estudio de la teoría.

Teoría de la Ley de Gauss.

Explicación en vídeo de la ley de Gauss

Problemas de la Ley de Gauss

14 de marzo del 2018 Stephen Hawking ha muerto. Adiós al genio por excelencia.

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss nos permite calcular de una forma simple el módulo del campo eléctrico, cuando conocemos la distribución de cargas con simetría esférica o cilíndrica tal como veremos en esta ENTRADA

Cuando el vector campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ es constante en todos los puntos de una superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie $\Phi =\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{S}$

El vector superficie $\overrightarrow{S}$ es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo $\overrightarrow{E}$ y el vector superficie $\overrightarrow{S}$ son perpendiculares el flujo es cero

Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de cada elemento $\overrightarrow{dS}$ de superficie, $\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}$ . El flujo a través de la superficie S, es

$\Phi =\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}$

La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre ε₀.

${\oint }^{}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

Vamos a ver algunos ejemplos típicos de aplicación de la ley de Gauss.

Problema Gauss

Campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo cargado

Para una línea indefinida cargada, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo $\overrightarrow{E}$ y el vector superficie $\overrightarrow{S_1}$ o $\overrightarrow{S_2}$ forman 90º, luego el flujo es cero.
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo $\overrightarrow{E}$ es paralelo al vector superficie $\overrightarrow{dS}$ . El campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ es constante en todos los puntos de la superficie lateral
$\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}=\underset{S}{\int }E\cdot dS\cos 0º=E\underset{S}{\int }dS=E\cdot 2\pi rL$
El flujo total es, E·2π rL
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cilíndrica de longitud L y radio r es q=λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.

4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
$E2\pi rL=\frac{\lambda L}{{\epsilon }_0}E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$

Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial




2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera concéntricade radio r.
El campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ es paralelo al vector superficie $\overrightarrow{dS}$ . Por simetría el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica de radio r, por lo que,
$\underset{S}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}=\underset{S}{\int }E\cdot dS\cos 0º=E\underset{S}{\int }dS=E\cdot 4\pi r^2$
El flujo total es, E·4πr²

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada


• Para r<R. (figura de la izquierda)
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total (en color rosado), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r.
$q=Q\frac{r^3}{R^3}$

• Para r>R (figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.
4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
$E4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
Se obtiene
$E=\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}\text{(}r<R)E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\text{(}r>R)$
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.

Potencial a una distancia r del centro de la esfera cargada

Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V(r) a la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V(r)-V(∞). Por convenio, se establece que en el infinito la energía potencial es cero.

Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0< r<R y r>R

• r>R. Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de la derecha)
$V=\underset{r}{\overset{\infty }{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

• r<R. Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo Econ r, discontinua en el punto r=R. (figura de la izquierda)
$V\left(r\right)=\underset{r}{\overset{R}{\int }}\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}dr+\underset{R}{\overset{\infty }{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{r^2}{R^2}\right)$

Energía de una distribución de cargas

Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva. O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la otra.

Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas y la generalizamos para una distribución continua de carga.

Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q₁, q₂ y q₃, tal como se indica en la figura.

La energía de este sistema U vale

$U=E_{p12}+E_{p13}+E_{p23}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_3}{r_{13}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2{q}_3}{r_{23}}$

Llamando V₁ al potencial producido por las cargas q₂ y q₃ en la posición que ocupa q₁. La energía de la carga q₁ en el campo producido por las otras dos es

$q_1{V}_1=q_1\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_3}{r_{13}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2}{r_{12}}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_3}{r_{13}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}}$

Análogamente, llamando V₂ al potencial producido por las cargas q₁ y q₃ en la posición que ocupa q₂. La energía de la carga q₂ en el campo producido por las otras dos es

$q_2{V}_2=q_2\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1}{r_{12}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_3}{r_{23}}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2{q}_3}{r_{23}}$

Del mismo modo, llamando V₃ al potencial producido por las cargas q₁ y q₂ en la posición que ocupa q₃. La energía de la carga q₃ en el campo producido por las otras dos es

$q_3{V}_3=q_3\left(\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1}{r_{13}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2}{r_{23}}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_3}{r_{13}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2{q}_3}{r_{23}}$

Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de la energía del sistema de partículas

$U=\frac{1}{2}\left(q_1{V}_1+q_2{V}_2+q_3{V}_3\right)=\frac{1}{2}\sum q_i{V}_i$

Energía de la esfera cargada

Volviendo de nuevo a la esfera uniformemente cargada, el potencial V_i se sustituye por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.

La carga q_i se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida entre r y r+dr. El volumen de dicha capa esférica es 4πr²dr, y la carga que hay en este volumen vale (densidad de carga por volumen)

$\frac{3Q{r}^2}{R^3}dr$

La energía vale entonces

$U=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{R}{\int }}V\left(r\right)dq=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{r^2}{R^2}\right)\frac{3Q{r}^2}{R^3}dr=\frac{3}{5}\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$